Chapter 13 非参数检验
13.1 卡方检验
13.2 率的比较
13.2.1 2×2交叉表数据的\(\chi^2\)检验
| 方法 | 情形 | 计算公式 |
|---|---|---|
| 独立四格表卡方检验 | \(n\ge 40\)且所有的\(T\ge 5\) \(n\ge 40\)且任一理论频数有\(1\le T< 5\) 当\(n<40\)，或任一一个格子理论频数\(T<1\)时 |
卡方基本公式、独立四格表专用公式 同上、但是需要校正 用四格表资料的Fisher确切概率法 |
| 正态近似法 | \(n_1p_1,n_1(1-p_1),n_2p_2,n_2(1-p_2)\)均大于5 | 分子为样本率之差，分母为样本率差的标准误 \(S_{p1-p2}\)为两个样本率之差的标准误，\(p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}\)为两样本的合并率 |
| 校正样本率的正态近似法 | 当\(n_1p_1,n_1(1-p_1),n_2p_2,n_2(1-p_2)\)不太大时 | 同上，但是需要对样本率实施“分子+2、分母+4”的校正 |
notice：
- 正态近似法与卡方检验结果是很接近的。在日常计算时，因为计算简便，故常用卡方检验公式。
- 四格表的自由度为1。
- 四格表实际频数变动时，若周边合计数保持不变，则理论频数将不会产生变化。
- 用\(n_R\)和\(n_C\)和n分别表示行合计、列合计和总合计，则计算每格理论数的公式为：\(T_{RC}=\frac{n_R×n_C}{n}\)。
- \(\chi^2\)检验的基本公式：\(\chi^2=\sum \frac{(A-T)^2}{T}\)。
- 校正的\(\chi^2\)检验的基本公式：\(\chi^2=\sum \frac{(|A-T|-0.5)^2}{T}\)。
13.2.2 配对设计数据的\(\chi^2\)检验
| 方法 | 情形 | 计算公式 |
|---|---|---|
| 配对四格表卡方检验 | 当\((b+c)\ge 40\)时 当\((b+c)<40\)时 |
配对卡方检验专用公式 校正配对卡方检验专用公式 |
| 配对R×R交叉表数据的\(\chi^2\)检验 | R（\(R\ge2\)） | \(T=\frac{k-1}{k}\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-m_i)^2}{n_i+m_i-2A_{ii}}\) |
notice：
- 配对\(\chi^2\)检验的基本公式：\(\chi^2=\sum \frac{(A-T)^2}{T}=\frac{(b-c)^2}{b+c}\)。
- 若b+c<40,使用校正的配对\(\chi^2\)检验的基本公式：\(\chi^2=\sum \frac{(|b-c|-1)^2}{b+c}\)。
13.3 独立性检验
13.3.1 2×2交叉表的独立性检验
- 建立假设检验，确定检验水准 \(H_0\):两变量之间相互独立 \(H_1\):两变量之间相互独立 \(\alpha=0.05\)
- 计算检验统计量 \[\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(A_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}} \]
- 确定P值，做出推断
- 关联系数的计算 \[r=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+n}}\]
13.3.3 R×C样本率或构成比的比较
| 类目 | 内容 |
|---|---|
| 假设检验 | \(H_0\)：各组总体率（或构成比）相同。\(H_1\)：各组总体率（或构成比）不同（不全相同）。 |
| 计算公式 | 卡方检验基本公式，自由度为：\(v=(R-1)(C-1)\) |
| 数据要求 | 1. 应用条件：不能有理论频数小于1的格子，或者不能有1/5以上的理论频数大于等于1且小于5 2. 不能进行卡方检验时的解决办法：①增加样本量；②合并或删除理论频数比较小的行或列；③采用Fisher确切概率法 |
| 卡方分割 | 多个率或多个频率分布比较的卡方检验，当结论为拒绝\(H_0\)时，仅表示多组之间是有差别的。若需要明确研究是那两组之间存在差别，可做率的多重比较，将R×C表分割为若干个小的四格表进行检验，并且需要根据比较的次数合理地修正检验水准\(\alpha\)，否则将人为地增大犯第一类错误的概率 |
notice:
- 多个独立样本率的比较，根据R个独立样本的频率分布，是检验R个二项分布总体的概率是否相同，。假设对四个样本率进行比较，进行\(\chi^2\)检验，则它的行数为4，列数为2，其自由度为\(v=(R-1)×(C-1)=(4-1)(2-1)=3\)。
- 针对行列表资料的\(\chi^2\)检验，若有\(1/5\)格子以上的理论频数小于5，即\(1\le T\le5\)时，应考虑增加样本量，或结合专业知识对行或列进行合并。