Chapter 8 参数估计

8.1 样本量的抽样分布

率的统计指标	计算公式
样本率\(p\)的总体均数	\(\mu_{p}=\pi\)
样本量\(p\)的方差	\(\sigma_p^2=\frac{\pi(1-\pi)}{n}\)(理论值);\(S_p^2=\frac{p(1-p)}{n}\)(估计值)
样本率\(p\)的标准差	\(\sigma_p=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\)(理论值);\(S_p=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)(估计值)
率的标准误	\(\sigma_p=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\)(理论值);\(S_p=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)(估计值)

8.2 样本均数及其抽样分布

均数的统计指标	计算公式
样本均数的总体均数	\(\mu_{\bar X}=\mu\)
样本均数的方差	\(\sigma_{\bar x}^2=\frac{\sigma^2}{n}\)(理论值);\(S_{\bar x}=\frac{S^2}{n}\)(估计值)
样本均数的标准差	\(\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)(理论值);\(S_{\bar X}=\frac{S}{\sqrt{n}}\)(估计值)
均数的标准差	\(\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)(理论值);\(S_{\bar X}=\frac{S}{\sqrt{n}}\)(估计值)

8.3 中心极限定理

1. 大数定律(Law of large Numbers):当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。大数定律的条件：

• 独立重复事件；
• 重复次数足够多。

2. 中心极限定理(Central limit theorems):中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。我每次从这些总体中随机抽取\(n\)个抽样，一共抽\(m\)次。然后把这\(m\)组抽样分别求出平均值。这些平均值的分布接近正态分布。

8.4 小结

1. 样本均数的中心极限定理。从任意均数等于\(\mu\)，方差等于\(\sigma^2\)的一个总体中抽取样本量为\(n\)的简单随机样本，当样本量\(n\)很大时，无论总体分布形态如何，样本均数的抽样分布近似服从正态分布。
2. 样本率的中心极限定理。从“成功”率为\(\pi\)的总体中随机抽取样本量为\(n\)的样本，其样本“成功”率用\(p\)表示，当\(n\pi>5\)且\(n(1-\pi)>5\)时，样本率\(p\)近似服从正态分布。